Determinacy and Non-Classicality in Arithmetic

Eckdaten des Projekts

Beschreibung des Projekts

Das Selbstbild der Mathematiker wird oft als das von Theoretikern dargestellt, die einen Bereich unveränderlicher Wahrheiten erforscht, einen Bereich ohne Mehrdeutigkeiten oder Unbestimmtheiten. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt, dass jede gerade Zahl größer als zwei die Summe zweier Primzahlen ist. Obwohl sie derzeit noch unbewiesen ist, geht die orthodoxe Lehrmeinung davon aus, dass die Vermutung einen bestimmten Wahrheitswert hat: Die Vermutung ist wahr ist oder nicht. Die gegenteilige Ansicht, dass die Vermutung in Bezug auf bestimmte Interpretationsweisen unserer mathematischen Theorien wahr, in Bezug auf andere jedoch falsch ist, würde den meisten als nicht richtig erscheinen. Und was für die Goldbachsche Vermutung gilt, soll auch für jeden anderen Satz in der Sprache der Mathematik gelten.

Aber ist dieses Bild angesichts der Mathematik und Philosophie des 20. Jahrhunderts noch haltbar? Es scheint nicht so. Die Arbeiten mehrerer Logiker:innen haben gezeigt, wie weit verbreitet sogenannte unabhängige mathematische Sätze sind. Dabei handelt es sich um Sätze – manchmal in sehr einfacher Form, ähnlich wie Goldbachs Vermutung –, die weder allein anhand unserer gängigsten mathematischen Theorien noch anhand ihrer Negationen bewiesen werden können. Standardlogische Ergebnisse scheinen darauf hinzudeuten, dass unabhängige Sätze in Bezug auf bestimmte Interpretationsweisen unserer mathematischen Theorien wahr und in Bezug auf andere falsch sind, was zu Fällen von Unbestimmtheit führt. Angesichts der Unabhängigkeitsergebnisse teilen sich die Philosoph:innen der Mathematik in zwei große Lager: Einige bekräftigen das Selbstverständnis der Mathematiker:innen und argumentieren, dass die Unabhängigkeit nur zeigt, dass unsere Theorien die mathematische Wahrheit nicht präzise genug beschreiben, während andere die Orthodoxie aufgeben und akzeptieren, dass einige mathematische Sätze einfach keine bestimmten Wahrheitswerte haben.

Wir sind der Meinung, dass Fortschritte in Fragen der Determiniertheit durch das strikte Festhalten der Forscher an der klassischen Logik behindert wurden. Das heißt, Fragen der Determiniertheit wurden im Großen und Ganzen innerhalb eines einzigen logischen Rahmens untersucht – mit seinen besonderen Regeln, Sprachen und anderen formalen Eigenschaften –, was unserer Ansicht nach dazu geführt hat, dass wichtige mathematische Strukturen und die philosophischen Informationen, die diese Strukturen liefern, verschleiert wurden.

In diesem Projekt entwickeln wir systematisch den charakteristischen dialektischen Ansatz, traditionelle Theoreme und Argumente aus dem Blickwinkel der nichtklassischen Logik zu analysieren. Wir behaupten, dass die Anwendung nicht-klassischer Logiken die These der mathematischen Unbestimmtheit stützt und eine frühere Vermutung aus der Literatur bestätigt, wonach das derzeitige Vertrauen in die arithmetische Determiniertheit lediglich von den gegenwärtigen mathematischen Techniken abhängt. Darüber hinaus ebnen unsere Ergebnisse den Weg für neue Theorien der Arithmetik und ihrer Philosophie und bieten originelle Perspektiven auf alte philosophische Probleme über Wahrheit und Referenz.