Doppelt nichtlineare Evolutionsgleichungen

Antragstellerin: Verena Bögelein

Das Projekt wird seit Dezember 2018 vom FWF (Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung) gefördert.

Abstract: In diesem Projekt betrachten wir doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen, die in gewissem Sinn eine Kombination der parabolischen p-Laplace Gleichung und der Porösen Medien Gleichung sind. Derartige partielle Differentialgleichungen besitzen ein sehr breites Spektrum von Anwendungen, z.B. in der Strömungsmechanik, der Bodenkunde und der Filtration. Trotz ihrer Wichtigkeit für Anwendungen und auch innerhalb der Mathematik, gibt es noch viele unverstandene Phänomene und offene Fragestellungen in diesem Gebiet. Unser mathematisches Verständnis dieser Gleichungen ist gerade erst am Anfang.Das Ziel dieses Projekts ist es neue Einsichten in die Existenz- und Regularitätstheorie doppelt nicht-linearer Evolutionsgleichungen zu gewinnen. Obwohl wir uns größtenteils mit theoretischen, analytischen Fragestellungen beschäftigen, sind diese von Anwendungen aus der Physik und den Ingenieurwissenschaften motiviert. Die Ergebnisse könnten auch Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer numerischer Verfahren sein.Das Projekt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Existenztheorie für doppelt nicht-lineare Evolutionsgleichungen. Diese beruht auf einer neuen Definition für Lösungen, den sogenannten Variationslösungen. Diese erlaubt mittels einer nicht-linearen Variante des impliziten Eulerverfahrens die Entwicklung einer Existenztheorie, die nur auf Methoden der Variationsrechnung beruht. Diese Methode ist sehr flexibel und soll in unterschiedlichen Situationen angewendet werden, z.B. auf Hindernisprobleme oder auf eine „fast diffusion“ Variante der Minimalflächengleichung. Zudem werden wir Eindeutigkeit und Approximationseigenschaften der Lösungen untersuchen. Die so erhaltenen Lösungen sind verallgemeinerte Lösungen in gewissen Sobolev Räumen. Im zweiten Teil des Projekts untersuchen wir daher ihre Regularitätseigenschaften wie Hölderstetigkeit oder die sogenannte höhere Integrierbarkeit. Darunter versteht man eine kleine Verbesserung der Integrabilität des Ortsgradienten der Lösung. Solche Eigenschaften sind nicht nur für sich genommen interessant. Sie sind wichtige Bestandteile im Beweis weiterführender Regularitätsresultate wie partielle Regularität oder Calderòn-Zygmund Abschätzungen.